Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）如果f（x）存在零点，求a的取值范围；
（2）是否存在常数a，使f（x）为奇函数？如果存在，求a的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）若f（x）存在零点，即f（x）=a-

1

2x+1

=0，推出a=

1

2x+1

，从而求出a的范围；
（2）假设存在，函数f（x）定义域为R，f（x）为奇函数可得f（0）=0，可得a的值，求出f（x）的解析式；

解答：解：（1）令f（x）=0得a=

1

2x+1

，
由于2x＞0，0＜

1

2x+1

＜1
欲使f（x）有零点，a∈（0，1）
（2）易知函数f（x）定义域为R．
如果f（x）为奇函数，则f（0）=0，可得a=

1

2

此时f(x)=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2•(2x+1)

∴f(-x)=

2-x-1

2•(2-x+1)

=

1-2-x

2•(1+2-x)

=-f(x)，
所以，当a=

1

2

时f（x）为奇函数；

点评：此题主要考查指数函数的性质及其应用，第二问涉及奇函数的性质，是一道基础题；