Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，弦PQ过左焦点F，且OP⊥OQ（O为坐标原点）求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：设出P和Q及椭圆的左焦点F的坐标，分两种情况：①当PQ垂直于x轴时，把x=-c代入椭圆方程，求出|PF|的长度，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到|OF|等于|FP|，即c等于|PF|列出关于a与c的方程，两边都除以e的平方后转化为关于e的方程，求出方程的解即可得到e的值；②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的斜率为k，根据F（-c，0）和设出的k，写出直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理分别表示出P，Q横坐标之和及之积，然后表示出P，Q的纵坐标之积，因为OP⊥OQ，得到斜率乘积为-1，化简后得到P，Q的横坐标之积与纵坐标之积的和为0，分别代入得到一个关于k，a和c的等式，解出k的平方的式子，由k的平方大于0列出关于a与c的不等式，变形后即可得到离心率e的取值范围．综上，得到所有满足题意的椭圆的离心率e的取值范围．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-c，0），
分两种情况：①若PQ⊥x轴时|PF|=

b2

a

，
∵|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，
∴|OF|=|FP|，
∴C=

b2

a

，即ac=a²-c²，即e²+e-1=0，
∴e＞0，解得：e=

5 -1

2

；
②若PQ不垂直x轴时，设直线PQ：y=k（x+c），
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得：（b²+a²k²）x²+2k²a²cx+k²a²c²-a²b²=0，
∵

x1x2= k2a2c2-a2b2 b2+a2k2 x1+x2= -2k2a2c b2+a2k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁+c）（x₂+c）=k²[x₁x₂+c（x₁+x₂）+c²]
=k2

k2a2c2-a2b2+c2b2+c2a2k2-2k2a2c2

b2+a2k2

=

-k2b4

b2+a2k2

，
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²a²c²-a²b²-k²b⁴=0，
∴k²=

a2b2

a2c2-b4

＞0，
∴a²c²＞b⁴=（a²-c²）²
∴

5 -1

2

＜e＜1，
综上：

5 -1

2

≤e＜1．

点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质，灵活运用韦达定理及两直线垂直时斜率的关系化简求值，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．