题目内容
已知：函数f（x）=ax2+2bx（a，b∈R+）
（1）若a=b=1，求：不等式log2f（x）≤3；
（2）若f（1）=1，求：
+
的最小值．
（1）若a=b=1，求：不等式log2f（x）≤3；
（2）若f（1）=1，求：
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
分析：（1）当a=b=1时，f（x）=x2+2x，原不等式log2f（x）≤3转化为log2（x2+2x）≤log28再结合对数函数的性质去掉对数符号转化成二次不等式组求解即得；
（2）先根据f（1）=1求出a+2b的值，利用
+
=
+
，再结合均值不等式求得答案．
（2）先根据f（1）=1求出a+2b的值，利用
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a+2b |
| a |
| a+2b |
| b |
解答：解：（1）当a=b=1时，f（x）=x2+2x
则：log2f（x）≤3?log2（x2+2x）≤log28
?
⇒
⇒-4≤x＜-2或0＜x≤2；
（2）当f（1）=1时，有a+2b=1
则：
+
=
+
=3+
+
∵a，b∈R+，∴
+
≥2
当且仅当
=
，即：a=
b等号成立
∴
+
=3+
+
≥3+2
即：(
+
)min=3+2
．
则：log2f（x）≤3?log2（x2+2x）≤log28
?
|
|
（2）当f（1）=1时，有a+2b=1
则：
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a+2b |
| a |
| a+2b |
| b |
| 2b |
| a |
| a |
| b |
∵a，b∈R+，∴
| 2b |
| a |
| a |
| b |
| 2 |
当且仅当
| 2b |
| a |
| a |
| b |
| 2 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 2b |
| a |
| a |
| b |
| 2 |
即：(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 2 |
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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