Question

设实数x、y满足x²+（y-1）²=1，令

x=cosθ y=1+sinθ

(θ∈R)，若x+y+c＞0恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦公式化简x+y为

2

sin(θ+

π

4

)+1，要使x+y+c＞0恒成立，需c＞-

2

sin(θ+

π

4

)-1恒成立，故c 应大于-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值，由正弦函数的值域知-

2

sin(θ+

π

4

)-1 的最大值等于

2

-1，从而得到c的取值范围．

解答：解：由题意可得 x+y=cosθ+sinθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，
要使x+y+c＞0恒成立，需 c＞-

2

sin(θ+

π

4

)-1恒成立，
故 c 大于-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值．
而-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值为

2

-1，故c＞

2

-1，
故实数c的取值范围为（

2

-1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，正弦函数的最值的求法，得到c 大于-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值，是解题的关键．