Question

已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f(

3

+x)=-f(x)成立，当x∈[0，

3

]时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-3，3]恒成立，则a的取值范围（　　）

A．a≤0或a≥1

B．0≤a≤1

C．-1≤a≤1

D．a∈R

Answer 1

因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，
且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，
且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，
由于当x∈[-

3

，

3

]时，f（x）=x³-3x，
求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
该函数过点（-

3

，0），（0，0），（

3

，0），
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，
在x=1处取得极小值f（1）=-2，
又由于对任意的x∈R都有f（ 

3

+x）=-f（x），
∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2

3

，
所以函数f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选A