Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1，
由题意得．f′（1）=1-2a+a²-1=-1得：a=1，
则f（x）=

1

3

x³-x²+b
而f（1）=

1

3

-1+b=2，解得b=

8

3

（2）f′（x）=x²-x=0得：x=1或x=0，

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4	增	极大值 8 3	减	极小值2	增	8

由列表得，f(x)极大值=f(0)=

8

3

，f(x)极小值=f(1)=2
而f（-2）=-4，f（4）=8，
所以，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1）
f（x）在区间[-2，4]上的最大值8．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．