题目内容

17、已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f′（x）＜1，则不等式f（x2）＜x2+1的解集为
（-∞，-1）∪（1，+∞）
．
分析：设出函数f（x）满足f（1）=2且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f′（x）＜1，然后求出不等式的解集即可．
解答：解：由题意：定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f′（x）＜1 （x∈R），
不妨设f（x）=2，所以不等式f（x2）＜x2+1，化为 x2+1＞1，即x2＞1，解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．
点评：此题是个中档题．考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会利用函数的单调性解决实际问题的能力．
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
A、-2B、2C、4D、-4
已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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