Question

【题目】如图，在半径为3m的 圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm，圆柱的体积为Vm3 ．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA= ，

设圆柱底面半径为r，则 =2πr，

即4π2r2=9﹣x2，

∴V=πr2x= ，其中0＜x＜3

（2）解：由V′= =0及0＜x＜3，得x= ，

列表如下：

x	（0， ）		（ ，3）
V′	+	0	﹣
V		极大值

所以当x= 时，V有极大值，也是最大值为 ．…（14分）

答：当x为 m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是 m3．

【解析】（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA= ，设圆柱底面半径为r，则 =2πr，即可得出r．利用V=πr2x（其中0＜x＜30）即可得出．（2）利用导数V′，得出其单调性，即可得出结论．