Question

在等差数列{a_n}中，a₄s₄=-14，s₅-a₅=-14，其中s_n是数列{a_n}的前n项和，曲线c_n的方程是

x2

|an|

+

y2

4

=1，直线l的方程是y=x+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）判断c_n与 l 的位置关系；
（3）当直线l 与曲线c_n相交于不同的两点A_n，B_n时，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，可求首项与公差，从而可求求数列{a_n}的通项公式；
（2）将曲线C_n与l的方程联立，利用判别式可求解；
（3）利用（2）的结论，表达出M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，再求M_n的最小值．

解答：解：（1）由题意可得S₄=s₅-a₅=-14，故a₄S₄=-14a₄=-14，即a₄=1，
设数列的公差为d，则

a4=a1+3d=1 S4=4a1+ 4×3 2 d=-14

，
解得

a1=-8 d=3

，故a_n=a₁+（n-1）d=3n-11；
（2）联立方程

x2 |an| + y2 4 =1 y=x+3

，消掉y并整理得（|an|+4）x2+6|an|x+5|an|=0，
由题意知△=16（|a_n|²-5|a_n|）＞0，即|a_n|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即n＞

16

3

或n＜2，
即n≥6或n=1时，直线l与曲线C_n相交于不同的两点．
（3）由（2）当n≥6或n=1时，直线l与曲线C_n相交于不同的两点．
M_n=（|a_n|+4）•|A_nB_n|=（|an+4|）•

2

•

16(|an|2-5an)

|an|+4

=4

2

•

(|an|- 5 2 )2- 25 4

=

4 2 • 9(n- 9 2 )2- 25 4    ，n≥6 16 3       n=1

，
∴当n=6时，M_n的最小值为8

7

点评：本题以数列为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是利用直线与圆锥曲线方程联立，并借助于判别式进行解决，属中档题．