Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）．
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由两角和的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的单调性求出f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）由（1）求出的f（x）代入g（x）化简后，设t=sinx并求出t的范围，代入解析式进行配方，再由二次函数的性质求出函数的最值，再用区间表示出g（x）的值域．

解答：解：（1）由题意得，f（x）=2[

1

2

sin（x-

π

3

）+

3

2

cos（x-

π

3

）]
=2sin（x-

π

3

+

π

3

）=2sinx，
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是：[0，

π

2

]，[

3π

2

，2π]；
（2）由（1）得，g（x）=2sinx（1+sinx）=2sinx+2sin²x
设t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t²+2t=2(t+

1

2

)2-

1

2

，
当t=-

1

2

时，函数取到最小值是：-

1

2

，
当t=1时，函数取到最大值是：4，
则g（x）的值域是[-

1

2

，4]．

点评：本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，二次函数的性质，以及换元法求函数的最值问题．