Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn+an=

n-1

n(n+1)

，n=1，2，…，则通项a_n=

1

2n

-

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：通过一系列变形得到2(an+1+

1

(n+1)(n+2)

)=an+

1

n(n+1)

，构造新数列bn=an+

1

n(n+1)

可知bn+1=

1

2

bn即数列{b_n}为等比数列，通过等比数列的知识可求得通项．

解答：解：∵Sn+an=

n-1

n(n+1)

∴Sn=

n-1

n(n+1)

-an，Sn+1=

n

(n+2)(n+1)

-an+1
∴an+1=Sn+1-Sn=

n

(n+1)(n+2)

-an+1-

n-1

n(n+1)

+an，
即  2a_n+1=

n

(n+1)(n+2)

-

n-1

n(n+1)

+an=

-n+2

n(n+1)(n+2)

+an=

n+2-2n

n(n+1)(n+2)

+a_n=

-2

(n+1)(n+2)

+an+

1

n(n+1)

，
由此得 2(an+1+

1

(n+1)(n+2)

)=an+

1

n(n+1)

．
令bn=an+

1

n(n+1)

，b1=a1+

1

2

=

1

2

（把n=1代入题意中的式子易求得a₁=0），
有bn+1=

1

2

bn，故bn=

1

2n

，所以an=

1

2n

-

1

n(n+1)

．
故答案为：

1

2n

-

1

n(n+1)

点评：本题为数列通项公式的求解，通过变形构造等比数列是解决问题的关键，属中档题．