Question

设圆C位于抛物线y²=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为

6

-1

．

Answer 1

分析：当圆C半径取最大值时，由对称性知，圆心C应在x轴上区间（0，3）内，且圆C与直线x=3相切，设出圆的方程，与抛物线方程联立，进而利用圆C与抛物线相切，判别式为0，可求得结论．

解答：解：当圆C半径取最大值时，由对称性知，圆心C应在x轴上区间（0，3）内，且圆C与直线x=3相切，
设此时圆心为（a，0）（0＜a＜3），则圆C方程为（x-a）²+y²=（3-a）²?，把y²=2x代入其中得，（x-a）²+2x=（3-a）²?，
即x²+2（1-a）x+6a-9=0，
∵圆C与抛物线相切，判别式△=[2（1-a）]²-4（6a-9）=0，
∴（1-a）²-6a+9=0，
∴a²-8a+10=0，
∵0＜a＜3
∴a=4-

6

，
∴圆C半径能取到的最大值为3-a=3-（4-

6

）=

6

-1
故答案为：

6

-1

点评：本题以直线与抛物线为载体，考查圆与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．