Question

已知点A（3，2），直线l₁：x+2y-3=0．求：
（1）过点A与l₁垂直的直线方程；
（2）求过点A的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方程．

Answer 1

分析：（1）由于直线l₁的斜率为-

1

2

，故所求的直线的斜率等于2，用点斜式求得所求直线的方程．
（2）设过A点的直线方程为：y-2=k（x-3），求出直线和坐标轴的交点，由题意求得k＜0，所求三角形的面积为：

1

2

×(12-9k-

4

k

)，利用基本不等式求出三角形面积的最小值，并求出此时的k的值，从而求得此时直线的方程．

解答：解：（1）直线l₁的斜率为-

1

2

，故所求的直线的斜率等于2，
所以，所求直线方程为：y-2=2（x-3），即 2x-y-4=0．
（2）设过A点的直线方程为：y-2=k（x-3），则直线与x轴正半轴交点的坐标为(3-

2

k

，0)，
与y轴正半轴交点的坐标为（0，2-3k）．
根据题意有

3- 2 k ＞0 2-3k＞0

，解得k＜0．
此时，所求三角形的面积为：

1

2

|3-

2

k

|•|2-3k|=

1

2

×(12-9k-

4

k

)．
又 -9k-

4

k

≥2

(-9k)×(- 4 k )

=12，当且仅当-9k=

4

-k

时，取等号．
所以三角形面积的最小值为：

1

2

×[12+(-9k-

4

k

)]=

1

2

×(12+12)=12．
此时-

4

k

=-9k即k=-

2

3

．此时直线的方程为：2x+3y-12=0．

点评：本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，基本不等式的应用，属于中档题．