Question

设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过F₁斜率为1的直线?与E相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的饿定义可 值|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，进而根据|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．
（II）设AB的中点为N（x，y），根据（1）则可分别表示出x和y，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．
解答：解：（I）由椭圆定义知|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
得l的方程为y=x+c，其中．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点坐标满足方程组
化简的（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0
则
因为直线AB斜率为1，得，故a²=2b²
所以E的离心率
（II）设AB的中点为N（x，y），由（I）知，．
由|PA|=|PB|，得k_PN=-1，
即
得c=3，从而
故椭圆E的方程为．
点评：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力