Question

a²（n≥4，n∈N^*）个正数排成一个n行n列的数阵：

其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n，k∈N^*）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，是否存在整数p使得不等式A_n≥11n+p对任意的n∈N^*恒成立，如果存在，求出p的最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设第一行的公差为d，则a_1k=a₁₁+（k-1）d，a_ik=[a₁₁+（k-1）d]•2^i-1，由a₂₃=8，a₃₄=20可知a₁₁和d的值，从而得到a_ik的值．
（2）由题意得A_n=2+2²+2³++2^n-1+2×2ⁿ-（n+1）=

2-2n-1×2

1-2

+2×2n-(n+1)=3(2n-1)-n，A_n≥11n+p?p≤A_n-11n
令B_n=A_n-11n，则B_n=（3•2ⁿ-n-3）-11n=3•2ⁿ-12n-3，从而B_n+1-B_n=3（2ⁿ-4）．由此入手能够推导出p的最大值为-15．

解答：解：（1）设第一行的公差为d，则a_1k=a₁₁+（k-1）d∵第b列的数成公比为2的等比数列
即a_ik=[a₁₁+（k-1）d]•2^i-1（2分）
又∵a₂₃=8，a₃₄=20∴

2(a11+2d)=8 22(a11+3d)=20.

解得a₁₁=2，d=1（4分）
从而a_ik=（k+1）•2^i-1（6分）
（2）由（1），得a_i（n+1-i）=（n+2-i）•2^i-1
A_n=a_nn+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1
=（n+1）×2⁰+n×2+（n-1）×2²+…+2×2^n-12_n=（n+1）×2+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ
两式相减，得A_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ-（n+1）=

2-2n-1×2

1-2

+2×2n-(n+1)=3(2n-1)-n（9分）
A_n≥11n+p?p≤A_n-11n
令B_n=A_n-11n，
则B_n=（3•2ⁿ-n-3）-11n=3•2ⁿ-12n-3
从而B_n+1-B_n=[3•2ⁿ⁺¹-12（n+1）-3]-（3•2ⁿ-12n-3）=3（2ⁿ-4）．
由上式知：当n=1时，有B₂＜B₁
当n=2时，有B₂=B₃
当n＞2时，B_n+1＞B_n
因此，数列{B_n}的最小项为B₂或B₃．
又B₂=B₃=-15
所以，p≤-15，即p的最大值为-15．（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意错位相减法和分类讨论法的合理运用．