Question

14．如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（2）求点B₁到面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁⊥面DBB₁D₁，知A₁C₁⊥B₁D．由A₁B⊥面ADC₁B₁，知A₁B⊥B₁D，所以B₁D⊥面A₁BC₁．
（2）在三棱锥B₁-BA₁C₁中有${V}_{{B}_{1}-B{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$，即可求出点B₁到面A₁BC₁的距离．

解答 （1）证明：连接B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁⊥DD₁，B₁D₁∩DD₁=D₁，
∴A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
∴A₁C₁⊥B₁D．
同理A₁B⊥面ADC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁D，
∵A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（2）解：∵设点B₁到面A₁BC₁的距离为h，在三棱锥B₁-BA₁C₁中有${V}_{{B}_{1}-B{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}a）^{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查空间中点、线、面间的距离，证明直线和平面垂直，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．