Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足：?x∈R恒有f（x+2）=f（x）-f（1）．且当x∈[2，3]时，f（x）=-2（x-3）²．若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则实数a的取值范围为

(0，

3

3

)

．

Answer 1

分析：利用函数是偶函数，求出f（1）=0，然后得出函数的周期，利用函数的周期性，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），分别作出函数y=f（x）和y=log_a（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．

解答：解：因为函数是偶函数，所以当x=-1时，f（-1+2）=f（-1）-f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），即函数的周期是2．
由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），
分别作出函数y=f（x）和g（x）=log_a（x+1）的图象，
若a＞1，则不满足条件（图1）
如0＜a＜1，要使函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则满足当x=2时，f（2）=-2，g（2）＞-2，即log_a（2+1）＞-2，log_a3＞-2，
解得0＜a＜

3

3

．
故答案为：(0，

3

3

)．

点评：本题主要考查函数零点应用，利用数形结合，将方程转化为两个函数图象的相交问题是解决此类问题的基本方法．综合性较强．