Question

已知函数f（x）=

sinx

3 cosx

-x（0＜x＜

π

2

）．
（Ⅰ）求f′(

π

4

)；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在x∈(0，

π

2

)上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

在x∈(0，

π

4

]的最大值．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）∵f′(x)=

cosx 3 cosx -sinx( 3 cosx )′

3 cos2x

-1=

3cos2x+sin2x

3cosx 3 cosx

-1=cos

2

3

x+

1

3

sin2xcos-

4

3

x-1…（3分）
∴f′(

π

4

)=cos

2

3

π

4

+

1

3

sin2

π

4

cos-

4

3

π

4

-1=

2

3

3	4

-1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=cos

2

3

x+

1

3

sin2xcos-

4

3

x-1，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则G′(x)=

2

3

cos-

1

3

x•(-sinx)+

1

3

[2sinxcosxcos-

4

3

x+sin2x•(-

4

3

)•cos-

7

3

x•(-sinx)]
=

4

9

sin3xcos-

7

3

x＞0在x∈(0，

π

2

)上恒成立
故G（x）在(0，

π

2

)上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…（8分）
所以f（x）在(0，

π

2

)上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin³x＞x³cosx，…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin³x-x³cosx＞0在x∈(0，

π

4

]上恒成立．
则g′（x）=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0在x∈(0，

π

4

]上恒成立．   …（12分）
即g（x）在x∈(0，

π

4

]单调递增
于是g(x)max=g(

π

4

)=2-

16

π2

…（14分）