Question

【题目】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。

（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。

详解：（1）设，则.

两式相减，并由得

.

由题设知，于是

.①

由题设得，故.

（2）由题意得，设，则

.

由（1）及题设得.

又点P在C上，所以，从而，.

于是

.

同理.

所以.

故，即成等差数列.

设该数列的公差为d，则

.②

将代入①得.

所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.

故，代入②解得.

所以该数列的公差为或.