题目内容
已知函数f（x）=lnx+ax和g（x）=x2-4x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），则实数a的取值范围是
（-∞，-
）
| 1 |
| e3 |
（-∞，-
）
．| 1 |
| e3 |
分析：由题设知f（x1）max＜g（x2）max．由此能求出实数a的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=lnx+ax和g（x）=x2-4x+2，
若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），
∴f（x1）max＜g（x2）max．
∵f′(x)=
+a，x1∈（0，+∞），
由f′（x）=0，得x=-
．
∴f(x1)max=f(-
)=ln(-
)-1 ．
∵g′（x）=2x-4，x2∈[0，1]，
∴g′（x2）＜0，∴g（x2）max=g（0）=0-4×0+2=2．
∴由f（x1）max＜g（x2）max，得ln（-
）-1＜2，
∴ln（-
）＜lne3，
解得a＜-
．
故答案为：（-∞，-
）．
若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），
∴f（x1）max＜g（x2）max．
∵f′(x)=
| 1 |
| x |
由f′（x）=0，得x=-
| 1 |
| a |
∴f(x1)max=f(-
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∵g′（x）=2x-4，x2∈[0，1]，
∴g′（x2）＜0，∴g（x2）max=g（0）=0-4×0+2=2．
∴由f（x1）max＜g（x2）max，得ln（-
| 1 |
| a |
∴ln（-
| 1 |
| a |
解得a＜-
| 1 |
| e3 |
故答案为：（-∞，-
| 1 |
| e3 |
点评：本题考查导数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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