Question

已知数列{a_n}的前n和为S_n，其中an=

Sn

n(2n-1)

且a1=

1

3

（1）求a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意an=

Sn

n(2n-1)

又a1=

1

3

，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想an=

1

(2n-1)(2n+1)

检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）a2=

S2

2(2×2-1)

=

a1+a2

6

又a1=

1

3

，则a2=

1

15

，类似地求得a3=

1

35

（2）由a1=

1

1×3

，a2=

1

3×5

，a3=

1

5×7

…
猜得：an=

1

(2n-1)(2n+1)

以数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）可知等式成立；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

那么，当n=k+1时，由题设an=

Sn

n(2n-1)

得ak=

Sk

k(2k-1)

，ak+1=

Sk+1

(k+1)(2k+1)

所以S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）

1

(2k-1)(2k+1)

=

k

2k+1

S_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1a_k+1=S_K+1-S_K=（k+1）（2k+1）a_k+1-

k

2k+1

因此，k(2k+3)ak+1=

k

2k+1

所以ak+1=

1

(2k+1)(2k+3)

=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

这就证明了当n=k+1时命题成立．
由①、②可知命题对任何n∈N^*都成立．

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．