Question

在△ABC中，角A，B，C满足关系：1+

tanA

tanB

=

2sinC

sinB

（Ⅰ）求角A；　　
（Ⅱ）若向量

m

=(0，-1)，

n

=(cosB，2cos2

C

2

)，试求|

m

+

n

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB 代入条件化简可得sin（A+B）=2sinCcosA，求出

1

2

，从而求得角A．
（Ⅱ）求出向量的和，然后利用向量的模，化简表达式求出最小值即可．

解答：解：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB．
∵，∴1+

tanA

tanB

=

2sinC

sinB

，化简可得 sin（A+B）=2sinCcosA．
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）向量

m

=(0，-1)，

n

=(cosB，2cos2

C

2

)，
|

m

+

n

|=|（cosB，2cos2

C

2

-1）|=|（cosB，cosC）|
=

cos2B+cos2C

=

cos2B+cos2(120°-B)

=

1 2 sin(2B+ π 6 )+1

，
因为A=

π

3

，所以B∈（0，

2π

3

），2B+

π

6

∈(

π

6

，

3π

2

)，
所以|

m

+

n

|的最小值为：

2

2

．

点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式的应用，式子的变形，是解题的关键．