题目内容
已知C0：x2+y2=1和C1：
+
=1 （a＞b＞0）．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
分析：利用PQRS是与C0外切，与C1内接的平行四边形，可得PQRS是菱形，于是OP⊥OQ，设出P，Q的坐标，在直角△POQ中，可得
+
=1，利用点在曲线上，即可求得结论．
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
解答：解：设PQRS是与C0外切，与C1内接的平行四边形，则PQRS是菱形，于是OP⊥OQ
设P（r1cosθ，r1sinθ），Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°）），
则在直角△POQ中，
+
=
，即
+
=1
∵
+
=1，即
=
+
同理，
=
+
，相加可得
+
=1
反之，若
+
=1成立，则取P（r1cosθ，r1sinθ），Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°）），
可得即
=
+
，
=
+
，
∴
+
=
+
=1
此时PQ与C2相切，即存在满足条件的平行四边形．
设P（r1cosθ，r1sinθ），Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°）），
则在直角△POQ中，
| r | 2 1 |
| r | 2 2 |
| r | 2 1 |
| r | 2 2 |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
∵
| ||
| a2 |
| ||
| b2 |
| 1 | ||
|
| cos2θ |
| a2 |
| sin2θ |
| b2 |
同理，
| 1 | ||
|
| sin2θ |
| a2 |
| cos2θ |
| b2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
反之，若
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
可得即
| 1 | ||
|
| cos2θ |
| a2 |
| sin2θ |
| b2 |
| 1 | ||
|
| sin2θ |
| a2 |
| cos2θ |
| b2 |
∴
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
此时PQ与C2相切，即存在满足条件的平行四边形．
点评：本题考查圆与椭圆知识的综合，考查学生的分析解决问题能力，考查计算能力，综合性强．
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