题目内容
如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:（Ⅰ）连接
，如图，
∵、分别是、的中点，
是矩形，
∴四边形
是平行四边形，
∴
． ………2分
∵
平面，
平面，
∴平面． ………… 4分
（Ⅱ）连接
，
∵正方形的边长为，，
∴
，
，
，
则
，
∴
． ……………6分
∵在长方体中，
，
，
∴
平面
，
又平面，
∴
，
又
，
∴平面． ………………………………8分
（Ⅲ）在平面
中过点
作
于
，
连结
，
∵
，
，
∴
平面，
又
平面， ……………………………9分
∴
，又，且
，
∴
平面
，而
平面， …………………ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
10分
∴
．
∴
是二面角的平面角． …………………ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
12分
在
中，
，
∴
，
，
∴二面角的大小为
． …………………………ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
14分
解法2（坐标法）：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，
则点
、
，
∴
又点
，
，
∴
∴
，
且
与
不共线，
∴
．
又平面，平面，
∴平面． ……………………………ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
4分
（Ⅱ）∵
，
∴
，
，
即
，
，
又
，
∴平面． …………………………ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
8分
（Ⅲ）∵，，
∴平面，
∴
为平面的法向量．
∵，，
∴为平面的法向量．
∴
，
∴
与
的夹角为，
即二面角的大小为．………………14分
（Ⅲ）（法三）设二面角的大小为
，
在平面
内的射影就是
，
根据射影面积公式可得
，
，
∴
，
∴二面角的大小为 …………ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
14分
欣语文化快乐暑假沈阳出版社系列答案
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．
平面
；
中，
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
， 
是线段
的中点．
平面
；
的体积．
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．
平面
；
平面
；
的大小．
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．
平面
；
平面
；
的大小．
，
=
，则二面角
的大小为_______;