Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两实根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）S_n是数列{a_n}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程的两实根，
∴…（2分）
∵．
故数列是首项为，公比为-1的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，即
∴
=．…（8分）
因此，
要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，
即（*） …（10分）
①当n为正奇数时，由（*）式得：
即，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴对任意正奇数n都成立，
因为为奇数）的最小值为1．所以λ＜1．…（12分）
②当n为正偶数时，由（*）式得：，即
∵2ⁿ-1＞0，∴对任意正偶数n都成立，
∵为偶数）的最小值为，∴．
∴存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立时λ的取值范围为（-∞，1）．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用韦达定理，结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列；
（Ⅱ）分别求出b_n、S_n，从而可得不等式，分类讨论，即可求出λ的取值范围．
点评：本题考查等比数列的证明，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．