Question

（本小题满分13分）

已知数列中，，，其前项和为，且当时，．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）令，记数列的前项和为，证明对于任意的正整数，都有成立．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当时，,

     所以．

     又由，可推知对一切正整数均有，

     ∴数列是等比数列．                                     ……… 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为4，  

         ∴．当时，，又，

∴                                 ………７分

     （Ⅲ）证明：当时，，此时

           ，

           又，

           ∴．                       ………９分

           ，

           当时，＝

   ．                                  ……… 12分

又因为对任意的正整数都有所以单调递增，即，

所以对于任意的正整数，都有成立．　　　……… 1３分