Question

如图4，在四棱锥，平面，，四边形是直角梯形中，．

（1）求证: 平面；（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵平面，  ∴．（1分）  

 又∵，∴       （2分）

过C作，交AD于E，则（3分）

∴，（4分）

在中，，∴．（5分）

又∵，∴平面．（6分）

（2）（方法一）∵，∴平面．（7分） 

过作于，连结，可知．        （8分）

∴是二面角的平面角．                 （9分）

设，则，．

∽，，．               （11分）

∴，                         （12分）

∴．即二面角的余弦值为． （14分）

（方法二）如图建立空间直角坐标系，设，则

∴，                （7分）

，                                 （8分）

设平面的法向量为，

则，即化简得

令，得，所以是平面的一个法向量.      （10分）

又平面ACD的一个法向量为                                 （11分）

设向量和所成角为，则                 （13分）

∴即二面角的余弦值为．                             （14分）