Question

已知函数f（x）=（x-1）-alnx
（1）讨论函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

（x＞0）（1分）
当a≤0时，f'（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，无极值          （2分）
当a＞0时，f′(x)=

x-a

x

=0，x=a，（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数        （2分）
有极小值f（a）=（a-1）-alna，无极大值（1分）
（2）f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

当a≤1时，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，则f（x）是单调递增的，
则f（x）≥f（1）=0恒成立，则a≤1（13分）
当a＞1时，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以x∈（1，a）时，f（x）≤f（1）=0这与f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立（3分）
综上：a≤1