Question

对于函数f（x）=4^x-m•2^x+1，若存在实数x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≤

  1

  2

• B、m≥

  1

  2

• C、m≤1
• D、m≥1

Answer 1

分析：依题意得，4-x0-m•2-x0+1=-4x0+m•2x0+1，分离参数m得：2m=2x0+2-x0-

2

2x0+2-x0

，构造函数t=2x0+2-x0，t≥2，则2m=t-

2

t

（t≥2），利用其单调性可求得2m的最小值，从而可得实数m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=4^x-m•2^x+1，f（-x₀）=-f（x₀），
∴4-x0-m•2-x0+1=-4x0+m•2x0+1，
∴m（2x0+1+2-x0+1）=4-x0+4x0，
∴2m=

4x0+4-x0

2x0+2-x0

=

(2x0+2-x0)2-2

2x0+2-x0

=2x0+2-x0-

2

2x0+2-x0

，
令t=2x0+2-x0，则t≥2，
∴2m=t-

2

t

（t≥2），
∵函数y=t与函数y=-

2

t

在[2，+∞）上均为单调递增函数，
∴2m=t-

2

t

（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，
∴当t=2时，2m=t-

2

t

（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，
解得：m≥

1

2

．
故选：B．

点评：本题考查指数型复合函数的性质及应用，求得2m=2x0+2-x0-

2

2x0+2-x0

是关键，也是难点，考查构造函数思想，考查双钩函数的性质与综合运算能力，属于难题．