Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先通过联立方程组求出A，B坐标，根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB＞90°，可知∠AFD＞45°，即DF＜DA，再分别求出DF与DA长度，用含a，c的式子表示，因为离心率等于，即可求出离心率的范围．
解答：解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A（，），B（，-），
设直线x=与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA
∴c-＜，b＜a，c²-a²＜a²
∴c²＜2a²，e²＜2，e＜又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜
故选D
点评：本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．