Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且点P_n（a_n+1，S_n）（n∈N^*）在函数f（x）=x+1的图象上．
（1）求a₁的值；
（2）若数列{b_n}满足：4b1•4b2…4bn=4n(1-Sn)bn，且b₂=5．求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用条件把a_n+1和S_n的关系式找到，再求出前3项，利用等比数列的性质即可求出a₁的值；
（2）先求出等比数列{a_n}的前n项和为S_n，代入求出数列{b_n}的通项与前n项和为之间的关系式，再利用此关系式推出数列{b_n}为等差数列，结合b₂=5即可求数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为点P_n（a_n+1，S_n）在函数f（x）=x+1的图象上，
所以S_n=a_n+1+1（n∈N^*），因为S₁=a₁=a₂+1，a₂=a₁-1，a₁+a₂=S₂=a₃+1，a₃=2a₁-2．
又数列{a_n}为等比数列，所以a₂²=a₁a₃，即（a₁-1）²=a₁（2a₁-2），
故a₁=-1，或a₁=1（舍去）．
（2）由（1）知数列{a_n}是以a₁=-1为首项，q=2为公比的等比数列．
所以Sn=

-1(1-2n)

1-2

=1-2ⁿ，1-S_n=2ⁿ．
由4b1•4b24bn=4b1+b2+…+bn=4n(1-Sn)bn=22n•2nbn=22n+nbn，
得2（b₁+b₂+…+b_n）=2n+nb_n对n∈N^*成立．①
则2（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）=2（n+1）+（n+1）b_n+1对n∈N^*成立．②
②-①，得2b_n+1=2+（n+1）b_n+1-nb_n，即（n-1）b_n+1+2=nb_n对n∈N^*成立．③
则有nb_n+2+2=（n+1）b_n+1对n∈N^*成立．④
④-③，得nb_n+2-（n-1）b_n+1=（n+1）b_n+1-nb_n，n（b_n+2+b_n）=2nb_n+1，
即b_n+2+b_n=2b_n+1对n∈N^*成立．由等差数列定义，知{b_n}为等差数列．
当n=1时，由①式得2b₁=2+b₁，b₁=2，则公差d=b₂-b₁=3，
所以b_n=2+3（n-1）=3n-1（n∈N^*）．

点评：本题综合考查了函数和数列的性质应用．这一类型题一般是做为压轴题或较难的题目出现的．