Question

已知x∈R，

OA

=（2acos²x，1），

OB

=（2，2

3

asin2x+2-a），y=

OA

•

OB

，
（1）当x∈[0，

p

2

]时，f （x）的最大值为5，求a的值
（2）当a＜0时，求函数y=f （x）在[0，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，讨论a的符号，最后根据f （x）的最大值为5，建立等式关系，求出a的值即可；
（2）当a＜0时，求出函数f （x）的单调递减区间，然后根据x∈[0，π]，求出在此区间上符合条件的范围即可．

解答：解：（1）y=4acos²x+2

3

asin2x+2-a
=2

3

asin2x+2acos2x+2+a
=4asin（2x+

π

6

）+2+a　…（3分）
∵x∈[0，

p

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
当a=0，不合
若a＞0，当2x+

π

6

=

π

2

时f （x）最大值为2+5a=5，∴a=

3

5

，
若a＜0，当2x+

π

6

=

7π

6

时f （x）最大值为2-a=5，∴a=-3　　　　（7分）
（2）a＜0，此时f （x）=4asin（2x+

π

6

）+2+a，
单调递减区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z　…（10分）
∵x∈[0，π]∴单调递减区间为[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的化简，以及利用函数的单调性研究函数的最值和函数的单调性的判定，属于中档题．