Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

，x∈R．
（I） 当x=

5

12

π时，求f（x）的值；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f[

1

2

(B+C)]=1，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、辅助角公式对函数进行化简，然后把x=

5

12

π代入可求函数值
（Ⅱ）由f[

1

2

(B+C)]=1，可求B+C，进而可求A，利用余弦定理可求a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2-bc

=

(b+c)2-3bc

=

4-3bc

，结合基本不等式可求a的最小值

解答：解（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

，
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
即f(x)=sin(2x-

π

6

)，
∴当x=

5

12

π时，f(x)=sin(

5

6

π-

π

6

)=

3

2

．…（6分）
（Ⅱ）由题意f[

1

2

(B+C)]=sin[(B+C)-

π

6

]=1，
∴B+C-

π

6

=

π

2

，
即B+C=

2

3

π，即A=

π

3

．
而a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2-bc

=

(b+c)2-3bc

=

4-3bc

，
又由bc≤(

b+c

2

)2=1，从而a≥

4-3

=1，
∴a的最小值是1．…（14分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数的化简中的应用，余弦定理在解三角形中的应用，具有一定的综合性