Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

2

2

，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求

BM

•

BN

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率为

2

2

，可设c=

2

t， a=2t，则b=

2

t，利用

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1）可得

4

4t2

+

1

2t2

=1，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），与椭圆方程联立

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

，利用韦达定理及用坐标表示向量，即可确定

BM

•

BN

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由离心率为

2

2

，可设c=

2

t， a=2t，则b=

2

t
因为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1）
所以

4

4t2

+

1

2t2

=1，解得t2=

3

2

，所以a²=6，b²=3
所以椭圆方程为

x2

6

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），
直线l与椭圆的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）…（5分）
由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

，消元整理得：（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0…（7分）
△=（12k²）²-4（1+2k²）（18k²-6）＞0得 0≤k²＜1…（8分）
x1+x2=

12k2

1+2k2

，x1x2=

18k2-6

1+2k2

…（9分）
∴

BM

•

BN

=（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂…（10分）
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]=(1+k2)×

3

1+2k2

=

3

2

(1+

1

1+2k2

)…（11分）
因为0≤k²＜1，所以2＜

3

2

(1+

1

1+2k2

)≤3
所以

BM

•

BN

的取值范围是（2，3]．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理进行解题．