Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*，t为常数），且a₁=1．
（Ⅰ）当t=2时，求a₂和a₃；
（Ⅱ）若{a_n+1}是等比数列，求t的值；
（Ⅲ）当t≠1时，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在递推式中取t=2，然后依次取n=2和3即可求得a₂和a₃；
（Ⅱ）由递推式分别求出数列{a_n}的第二项和第三项，然后由等比数列{a_n+1}的前三项列式求解t的值；
（Ⅲ）在递推式中取n=n+1得另一递推式，两式作差后构造出等比数列{an+

1

t-1

}，求出其前n项和后减去

n

t-1

得答案．

解答：解：（Ⅰ）当t=2时，取n=2有S₂-2S₁=2，即a₁+a₂-2a₁=2，又a₁=1，得a₂=3；
取n=3时有a₁+a₂+a₃-2a₁-2a₂=3，代入a₁=1，a₂=3，得a₃=7；
（Ⅱ）由S_n-tS_n-1=n，且a₁=1，得a₂=1+t，a3=1+2t+t2，因为{a_n+1}是等比数列，
代入(a2+1)2=(a1+1)(a3+1)，得（2+t）²=2（2+2t+t²），即t=0；
（Ⅲ）由S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*）①，得
S_n+1-tS_n=n+1②
②-①得，a_n+1-ta_n=1，∵t≠1，∴an+1+

1

t-1

=t(an+

1

t-1

)．
又a1+

1

t-1

=1+

1

t-1

=

t

t-1

≠0．
∴数列{an+

1

t-1

}是以

t

t-1

为首项，以t为公比的等比数列．
∴数列{an+

1

t-1

}的前n项和Tn=

t t-1 (1-tn)

1-t

=

t

(t-1)2

(tn-1)．
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=Tn-

n

t-1

=

t

(t-1)2

(tn-1)-

n

t-1

=

tn+1-(n+1)t+n

(t-1)2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，训练了数列构造法，解答此题的关键是构造出新数列{an+

1

t-1

}，是中档题．