Question

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件

x-y≥0 2x-y-2≤0 x≥0

下的最大值是4，则直线ax+by-1=0截圆x²+y²=1所得的弦长的范围是

[

2

，

3

)

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

x-y≥0 2x-y-2≤0 x≥o

，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为4，求出a，b的关系式，再利用直线与圆的位置关系求得的弦长的范围．

解答：解：满足约束条件

x-y≥0 2x-y-2≤0 x≥o

的区域是一个三角形，如图
3个顶点是（0，0），（1，0），（ 2，2），
由图易得目标函数在（2，2）取最大值4，
此时2a+2b=4，即a+b=2，
在条件：a+b=2，a＞0，b＞0下，由不等式知识可得：
a²+b²的取值范围是：2≤a²+b²＜4
设直线ax+by-1=0截圆x²+y²=1所得的弦长为l，弦心距为d
则：

1

4

l²+d²=r²=1，其中d=

|-1|

a2+b2

∈（

1

4

，

1

2

]
∴

1

4

l²=1-d²∈[

1

2

，

3

4

）
∴l²∈[2，3）
可得弦长l的范围是的范围是[

2

，

3

)
故答案为：[

2

，

3

)．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．