Question

（2004•黄浦区一模）求证：在从4n个不同元素中取出n个元素的所有组合中，含有某特定元素的组合个数等于不含该特定元素组合个数的

1

3

．

Answer 1

分析：根据特殊元素特殊对待的策略，从4n个不同元素中取出n个元素的所有组合中，含某特定元素的组合个数为C_4n-1^n-1，不含该特定元素的组合个数为C_4n-1^n-1，利用组合数公式化简整理即可得证．

解答：证明：从4n个不同元素中取出n个元素的所有组合中，
含某特定元素的组合个数为C_4n-1^n-1，不含该特定元素的组合个数为C_4n-1ⁿ（3分），
∵

C

n 4n-1

=

(4n-1)(4n-2)…•3n

n!

=

(4n-1)(4n-2)…•(3n+1)

(n-1)!

•

3n

n

=

C

n-1 4n-1

•3
∴

C

n-1 4n-1

=

1

3

C

n 4n-1

，命题得证．（6分）

点评：本题考查组合及组合数公式，难点在于确定含某特定元素的组合个数及不含该特定元素的组合个数，考查学生的理解分析与计算的能力，属于中档题．