题目内容

对数列{an}，|an+1|＜an是{an}为递减数列的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】分析：先判断|an+1|＜an成立能推出{an}为递减数列成立；通过举反例说明若{an}为递减数列成立；推不出|an+1|＜an成立；
利用充要条件的定义得到答案．
解答：解：若|an+1|＜an成立，
当an+1＜0时，则an+1＜-an+1＜an，所以{an}为递减数列，
当当an+1＞0时，则an+1＜an，所以{an}为递减数列，
总之，若|an+1|＜an成立，则{an}为递减数列成立；
反之，若{an}为递减数列成立；例如-1，-2，-3，-4，-5…但不满足|an+1|＜an成立；
所以}，|an+1|＜an是{an}为递减数列的充分不必要条件．
故选A．
点评：判断一个条件是另一个条件的什么条件，先判断前者成立能否推出后者成立，再由后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的有关定义得到结论．
练习册系列答案
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设数列{an}满足：a1=a，an+1=
2an
an+1
(n∈N*）．
（1）若数列{an}是无穷常数列，求a的值；
（2）当a∈（0，1）时，对数列{an}的任意相邻三项an，an+1，an+2，证明：
an
(1-
a
2
n
)2
+
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
+
a
3
n+2
(1-
a
4
n+2
)2
＜
1
(1-an+2)2
．
（2012•西城区二模）对数列{an}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k-1+λ2an+k-2+…+λkan成立，其中n∈N*，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；
②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；
③若数列{an}的通项公式为an=n2，则{an}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（　　）
对数列{an}，|an+1|＜an是{an}为递减数列的（　　）
（2007•浦东新区一模）对数列{an}，若存在正常数M，使得对任意正整数n，都有|an|＜M，则称数列{an}是有界数列．下列三个数列：an=
1
3
(1-2n)；an=
2n+3
2n-3
；an=(
1
4
)n-(
1
2
)n中，为有界数列的个数是（　　）
我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．
（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；
（2）若数列{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求数列{an}的k方数列通项公式．
（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程．

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