Question

如图，在底面半径为3，母线长为5的圆锥中内接一个高为x的圆柱．
（1）求圆锥的体积．
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）如图所示，先求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求得圆锥的体积V_锥=

1

3

×π×9×4，运算求得结果．
（2）在△PEB中，FN∥BE，利用成比例线段求出FN=3-

3

4

x，代入圆柱的侧面积S化简可得S=-

3π

2

x² +6πx，是一个开口向下，对称轴为x=2的抛物线，利用二次函数的性质求出它的最大值．

解答：解：（1）如图所示：∵圆锥的高 PE=

PB2-EB2

=4，
故圆锥的体积V_锥=

1

3

×π×9×4=12π．
（2）在△PEB中，FN∥BE，则

PF

PE

=

FN

EB

，则  

4-x

4

=

FN

3

，解得FN=3-

3

4

x．
圆柱的侧面积S=2π×rx=2π  (3-

3

4

x)x=-

3π

2

x² +6πx，
S的图象是一个开口向下，对称轴为x=2 的抛物线，且0＜x＜4．
故当x=2时，圆柱的侧面积S有最大值为6π．

点评：本题主要考查求圆锥的体积，圆柱的表面积的计算方法，二次函数的性质的应用，属于中档题．