Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，且a₂=3，又a₁，a₃，a₅成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）S_n为数列{a_n}的前n项和，求使a_n=S_n成立的所有n的值．

Answer 1

分析：（I）由{a_n}是公差不为零的等差数列，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列，知

a1+d=3 (a1+4d)2=(a1 +3d)(a1+7d)

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由a_n=-2n+7，知Sn=

(a1+an)n

2

=6n-n²，由a_n=S_n，得：-2n+7=6n-n²，由此能求出使a_n=S_n成立的所有n的值．

解答：解：（I）∵{a_n}是公差不为零的等差数列，
且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列，
∴

a1+d=3 (a1+4d)2=(a1 +3d)(a1+7d)

，
解得a₁=5，d=-2，
∴a_n=5+（n-1）×（-2）=-2n+7．
（II）∵a_n=-2n+7，
∴a₁=5，
Sn=

(a1+an)n

2

=

(5+7-2n)n

2

=6n-n²，
由a_n=S_n，得：-2n+7=6n-n²，
∴n=1，或n=7．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使a_n=S_n成立的所有n的值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．“a₁，a₃，a₅成等比数列“应该修改为“a₄，a₅，a₈成等比数列．”