Question

袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和6个白球，每次从袋中摸出一个球．
（1）一共摸出5个球，求恰好有3个红球的概率；
（2）若有放回的摸球，一共有5次摸球的机会，在摸球过程中，若有三次摸到红球则停止．记停止摸球时，已经摸到红球的次数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）一共摸出5个球，所有的放法共有

C

5 9

种，而恰有3个红球的方法有

C

3 3

•

C

2 6

，由此可得恰好有3个红球的 概率为P=

C 3 3 •C 2 6

C 5 9

，运算求得结果．
（2）每次摸球时，摸到白球的概率为

6

9

=

2

3

，摸到红球的概率为

3

9

=

1

3

，ξ可以取值为0，1，2，3，再求出ξ可以取的每一个值的概率，即可得到ξ的分布列．
再把ξ的每一个值乘以对应的概率，相加即得ξ的数学期望．

解答：解：（1）一共摸出5个球，所有的放法共有

C

5 9

种，而恰有3个红球的方法有

C

3 3

•

C

2 6

，
∴恰好有3个红球的 概率为P=

C 3 3 •C 2 6

C 5 9

=

5

42

．…（4分）
（2）每次摸球时，摸到白球的概率为

6

9

=

2

3

，摸到红球的概率为

3

9

=

1

3

，ξ可以取值为0，1，2，3． …（5分）
P(ξ=0)=(

2

3

)5=

32

243

P(ξ=1)=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4=

80

243

，

P(ξ=2)= C 2 5 ( 1 3 )2( 2 3 )3= 80 243

，

P(ξ=3)=( 1 3 )3+ C 1 3 2 3 ( 1 3 )3+ C 2 4 ( 2 3 )2( 1 3 )3= 51 243

．
所以，ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	51 243	51 243

…（8分）
则ξ的数学期望 Eξ=0+1×

80

243

+2×

51

243

+3×

51

243

=

131

81

．…（10分）

点评：本题主要考查求离散型随机变量的分布列、求随机变量的期望，属于中档题．