题目内容
（2012•河北模拟）设函数f（x）=sin（
-
）-2cos2
．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值．
| πx |
| 3 |
| π |
| 6 |
| πx |
| 6 |
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为
sin（
x-
）-1，由此求得f（x）的最小正周期，由 2kπ-
≤
x-
≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围，即可得到单调递增区间．
（2）由题意可得本题即求当x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．由x∈[3，4]，可得
-
的范围，进而得到 sin（
-
）的范围，从而求得函数y=f（x）的最大值．
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）由题意可得本题即求当x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．由x∈[3，4]，可得
| πx |
| 3 |
| π |
| 3 |
| πx |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）函数f（x）=sin（
-
）-2cos2
=
sin
x-
cos
x-1=
sin（
x-
）-1，
故f（x）的最小正周期为
=6．
由 2kπ-
≤
x-
≤2kπ+
，k∈z，解得 6k-
≤x≤6k+
，
故单调递增区间为[6k-
，6k+
]，k∈z．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
故当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值，即为x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．
此时，
≤
-
≤π，0≤sin（
-
）≤
，-1≤f（x）≤
，
故函数y=f（x）的最大值为
．
| πx |
| 3 |
| π |
| 6 |
| πx |
| 6 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
故f（x）的最小正周期为
| 2π | ||
|
由 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
故单调递增区间为[6k-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
故当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值，即为x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．
此时，
| 2π |
| 3 |
| πx |
| 3 |
| π |
| 3 |
| πx |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故函数y=f（x）的最大值为
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，现了化归与转化的数学思想，属于中档题．
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