Question

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2

3

，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=

 

．

Answer 1

分析：根据所给的条件判断三角形ABC 是一个含有30°角的直角三角形，得到直角边与斜边的关系，即直角边与直径之间的关系，根据切割线定理写出关系式，把所有的未知量用直径来表示，解方程得到结果．

解答：解：连接BC，设圆的直径是x
则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，
∴BC=

1

2

AB，
三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=

1

2

AB，
∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，
∴PC²=PB•PC=

1

2

x•

3

2

x=

3

4

x2，
∵PC=2

3

，
∴x=4，
故答案为：4

点评：本题考查圆周角定理，考查切割线定理，考查含有特殊角的直角三角形的性质，是一个综合题目，这种题目运算量比较小，是一个得分题目．