Question

（本小题满分14分）

如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起（转动一定角度），得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、，平面⊥平面。

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求证：、、、四点共面；

（3）求异面直线与所有的角。

Answer 1

（1）证明:由等腰直角三角形有，CDDE，DE∥BC -------- 1分

又，面ACD，              ----------2分

又DE∥BC      

平面，平面，            ----------3分

平面平面。                      ----------4分

(2)由条件有PQ为的中位线，MN为梯形BCDE的中位线  ----------1分

PQ∥DE，MN∥DE                               ----------2分

PQ∥MN                                      ----------3分

 M、N、P、Q四点共面．                      ----------4分

(3) 解法一：平面平面,交线为DE, ADDE   

AD面BCDE                                ----------1分

AD、DC、DE两两互相垂直    

可以以D为原点建立如图空间直角坐标系，        ----------2分

设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，

则C（2，0，0），A（0，0，2），E（0，2，0），

B（2，4，0）                   ----------3分

     ----------4分

设异面直线BE与MQ所成的角为，∵MQ∥BC,

∴   

             ----------5分

，  

异面直线BE与MQ所成的角大小为．----------6分

解法二：设AD=1（长度单位），则DC=1，BC=2，

延长ED到R，使DR＝ED，连结RC         ---1分

则ER＝BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形  --2分

RC∥EB，又AC∥QM    

为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）

   ------3分

DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，

∴由勾股定理得AC=AR=RC=，    ---------4分

ACR为正三角形，＝    ------5分

异面直线BE与QM所成的角大小为   ------6分

解法三：设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，

取BC中点K，再取CK中点H，连结MH，则在梯形BCDE中可得MH∥BE  

为异面直线BE与MQ所成的角（或的补角）          ----------1分

且MH＝BE，CH＝BC＝1，又CM＝1，

CHM中，可得MH＝

又MDQ中可得QM＝，                                --------------2分

又DCH中可得DK＝，

QDH中可得QH＝ --------------3分

  --------------4分

                 --------------5分

，

异面直线BE与MQ所成的角大小为                 ----------6分