题目内容
锐角二面角α-l-β的棱l上一点A，AB?α，且与棱成45°角，与β成30°角，则二面角α-l-β的大小是（ ）
分析：利用图形，根据题设条件，先作出线面角，再利用三垂线定理作出二面角的平面角；证明符合定义；通过解三角形求解即可．
解答：
解：如图：过B作BO⊥β，垂足为O，
过O在β内作OC⊥l于C，连接BC．
∵BO⊥β，∴OC是BC在平面β内的射影，由三垂线定理，BC⊥l，
∴∠BCO为二面角α-l-β的平面角．
又∵OA是AB在平面β内的射影，
∴∠BAO为AB与β所成的角，∠BAO=
，BO=
AB；
∵∠BAC=
，在Rt△ABC中，BC=
AB；
在Rt△BCO中，sin∠BCO=
=
；
∴∠BCO=
．
二面角α-l-β的大小是
，
故选D．
解：如图：过B作BO⊥β，垂足为O，过O在β内作OC⊥l于C，连接BC．
∵BO⊥β，∴OC是BC在平面β内的射影，由三垂线定理，BC⊥l，
∴∠BCO为二面角α-l-β的平面角．
又∵OA是AB在平面β内的射影，
∴∠BAO为AB与β所成的角，∠BAO=
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵∠BAC=
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
在Rt△BCO中，sin∠BCO=
| BO |
| BC |
| ||
| 2 |
∴∠BCO=
| π |
| 4 |
二面角α-l-β的大小是
| π |
| 4 |
故选D．
点评：本题考查二面角的平面角及求法．常用三垂线定理或二面角的平面角的定义作二面角的平面角．空间角的求法：1、作角（作垂线段）；2、证角（符合定义）；3、计算求角．
练习册系列答案
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,4,4
,则二面角的大小为 ( )