Question

设f(x)=x-

a-1

x

-alnx（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（2）当a∈(-∞，1+

1

e

]∪[1+e，+∞)时，若在x∈[

1

e

，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e-1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，讨论a的取值，使x=1是函数f（x）的极大值点，求出变量a的范围．
（2）要在x∈[

1

e

，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e-1成立，等价于当x∈[

1

e

，e]时，f（x）_max＞e-1，根据第一问可求出
f（x）_max，利用导数求闭区间上函数的最值即可．

解答：解：f′(x)=1+

a-1

x2

-

a

x

=

x2-ax+(a-1)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

?(x＞0)
当a-1≤0时，

当0＜a-1＜1时，

当a-1=1时，

当a-1＞1时，

综上所述，当a-1＞1，即a＞2时，x=1是函数f（x）的极大值点．（7分）
（2）在x∈[

1

e

，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e-1成立，等价于
当x∈[

1

e

，e]时，f（x）_max＞e-1．（9分）
由（1）知，①当a≤1+

1

e

，即a-1≤

1

e

时，
函数f（x）在[

1

e

，1]上递减，在[1，e]上递增，∴f(x)max=max{f(

1

e

)，f(e)}．
由f(

1

e

)=

1

e

-(a-1)e+a＞e-1，解得a＜

e+1

e2-e

．
由f(e)=e-

a-1

e

-a＞e-1，解得a＜1∵

e+1

e2-e

＜1，∴?a＜1；（12分）
②当a≥1+e，即a-1≥e时，函数f（x）在[

1

e

，1]上递增，在[1，e]上递减，f（x）_max=f（1）=2-a≤1-e＜e-1．
综上所述，当a＜1时，在x∈[

1

e

，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e-1成立．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及存在性问题，属于中档题．