Question

已知二次函数f（x）=x²-bx+2．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若b=2，求f（x）在[t，t+1]（t∈R）上的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）直接根据偶函数的定义可知f（-x）=f（x），从而可求出b的值；
（2）先将函数f（x）进行配方，得到对称轴，然后讨论对称轴与区间[t，t+1]的位置关系，从而得到最小值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-bx+2，f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）即x²+bx+2=x²-bx+2恒成立，则b=0；
（2）当b=2时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2，
当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g（t）=f（1）=1，
当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在区间[t，t+1]上是减函数，
∴g（t）=f（t+1）=t²+1，
综上可知：g（t）=

t2+1，t＜0 1，    0≤t≤1 t2-2t+2，t＞1

．

点评：本题考查函数的最值的求法，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，注意配方法和分类讨论法的合理运用．属于中档题．