Question

设函数f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，求f（x）解析式．
（2）若A={1}，且f（x）在x∈[m，+∞）时的最小值为2m+1，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意知，1，2为方程x²+ax+b=x的两个根，由根与系数的关系列出方程组即可求出a，b的值；
（2）由题意知，方程x²+ax+b=x有两个相等的根，由根与系数的关系列出方程组即可求出a，b的值，得到函数解析式，根据二次函数求最值的方法，研究对称轴与区间的位置关系分类讨论，列出方程即可求出m的值．

解答：解：（1）f（x）=x²+ax+b=x，变形为x²+（a-1）x+b=0，
由已知其两根分别为x₁=1，x₂=2，由韦达定理可知：x₁+x₂=-（a-1）=3，x₁ x₂=b=2
解得a=-2，b=2．
（2）由已知方程x²+（a-1）x+b=0有唯一根x₀=1，所以

△=(a-1)2-4b=0 1+(a-1)+b=0

，
解出a=-1，b=1，函数f（x）=x²-x+1，其对称轴为x=

1

2

．下面分两种情况讨论：
若m≥

1

2

时，f(x)min=f(m)=m2-m+1=2m+1，解出m=3，
若m＜

1

2

时，f(x)min=f(

1

2

)=

3

4

=2m+1，解出m=-

1

8

，
综上所述，m=3或-

1

8

．

点评：本题考查了集合与函数解析式的求解及常用方法，涉及了根与系数关系的应用，有关于二次函数求最值问题，一般考虑二次函数的对称轴与区间的位置关系分类讨论进行求解．属于中档题．