Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BB₁=b（b＞a），设异面直线A₁B与AD₁所成的角为α，异面直线A₁B与B₁D₁所成的角为β，则  （　　）

• A、α＜60°，β＜60°
• B、α＜60°，β＞60°
• C、α＞60°，β＞60°
• D、α＞60°，β＜60°

Answer 1

分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A₁BC₁就是异面直线所成的角，在三角形中A₁BC₁用余弦定理求解判定大小，同理可证异面直线A₁B与B₁D₁所成的角为β，β＞60°．

解答：解：如图，连接BC₁，A₁C₁，
∠A₁BC₁是异面直线A₁B与AD₁所成的角，
设AB=a，BB₁=b，∴A₁B=C₁B=

a2+b2

，A₁C₁=

2

a，
∠A₁BC₁的余弦值为

2b2

4a2

＜

1

2

∴α＜60°，
同理可证异面直线A₁B与B₁D₁所成的角为β，β＞60°
故选B．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．