Question

已知θ∈（0，π），且sinθ，cosθ是方程5x2-x-

12

5

=0的两根，求sin³θ+cos³θ及tanθ+

1

tanθ

的值．

Answer 1

分析：利用根与系数之间的关系得到sinθ+cosθ=

1

5

，根据θ∈（0，π），再结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出tanθ和sin³θ+cos³θ的值即可得到结果．

解答：解：∵sinθ，cosθ 是方程5x²-

1

5

x-

12

5

=0的两根，
∴sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π ），
sinθ cosθ=-

12

25

＜0．
解得x₁=

4

5

，x₂=-

3

5

．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

．
则tanθ=-

4

3

，得到tanθ+

1

tanθ

=-

4

3

-

3

4

=-

25

12

sin³θ+cos³θ=

37

125

．

点评：本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是根据所给的角的范围，求出一元二次方程的两个根，本题是一个中档题目．